​拆分极限：

lim⁡x→x0[f(x)−f(x0)]=lim⁡x→x0(f(x)−f(x0)x−x0⋅(x−x0))\lim_{x \to x_0} [f(x) - f(x_0)] = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0) \right)limx→x0​​[f(x)−f(x0​)]=limx→x0​​(x−x0​f(x)−f(x0​)​⋅(x−x0​))

​乘积的极限：

根据导数定义和 lim⁡x→x0(x−x0)=0\lim_{x \to x_0} (x - x_0) = 0limx→x0​​(x−x0​)=0，得：

lim⁡x→x0[f(x)−f(x0)]=f′(x0)⋅0=0\lim_{x \to x_0} [f(x) - f(x_0)] = f'(x_0) \cdot 0 = 0limx→x0​​[f(x)−f(x0​)]=f′(x0​)⋅0=0

从而 lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)limx→x0​​f(x)=f(x0​)，证毕。

​反例与补充

​连续不一定可导

● ​例子 1：绝对值函数 f(x)=∣x∣f(x) = |x|f(x)=∣x∣ 在 x=0x=0x=0 处连续但不可导（左、右导数不等）。

● ​例子 2：魏尔斯特拉斯函数 f(x)=∑n=0∞ancos⁡(bnπx)f(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n \cos(b^n \pi x)f(x)=∑n=0∞​ancos(bnπx)（01+3π2ab > 1 + \frac{3\pi}{2}ab>1+23π​）处处连续但处处不可导3。

​关键点总结

​逻辑关系：

○ 可导 ⟹ \implies⟹ 连续（因导数存在要求极限 lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)limx→x0​​f(x)=f(x0​)）。

○ 连续 ⇏\nRightarrow⇏ 可导（如尖点、振荡等情形破坏可导性）。

​几何意义：

○ 可导意味着函数在局部无突变（如尖角、断裂），曲线光滑。

○ 高阶可导性（如二阶可导）对应更高程度的平滑性。

​扩展思考

● ​可微与可导等价：在单变量函数中，可导与可微是等价概念。

● ​导数的本质：描述函数在某点的瞬时变化率，需局部线性近似（即连续）。